Markdown 数学公式指导手册

潘嘉豪(编译), freeopen(修订) · 最后更新时间:  [速查手册] #mathjax #handbook

本手册的主要内容来自 mathjax-basic-tutorial-and-quick-reference.

用 Katex 改写数学公式,发现 右括号接下标,不能正常解析,)改成 \rparen, ]改成 \rbrack

一、公式使用参考

1.如何插入公式

LaTex 的数学公式有两种:行中公式和独立公式。行中公式放在文中与其它文字混编,独立公式单独成行。

行中公式示例: $\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{(n^2+n)(2n+1)}{6}$ $\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{(n^2+n)(2n+1)}{6}$

独立公式示例:$$\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{(n^2+n)(2n+1)}{6}$$ $$\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{(n^2+n)(2n+1)}{6}$$

若需要手动编号,参见 大括号和行标的使用

$$
\begin{equation}
数学公式
\label{eq:当前公式名}
\end{equation}
$$

自动编号后的公式可在全文任意处使用\eqref{eq:公式名} 语句引用。

2.如何输入上下标

^ 表示上标,_ 表示下标。如果上下标的内容多于一个字符,需要用 {} 将这些内容括成一个整体。上下标可以嵌套,也可以同时使用。

$$x^{y^z}=(1+{\rm e}^x)^{-2xy^w} $$

$$ x^{y^z}=(1+{\rm e}^x)^{-2xy^w} $$

3.如何输入括号和分隔符

()[]| 表示符号本身,使用 \{\} 来表示 {} 。当要显示大号的括号或分隔符时,要用 \left\right 命令。

一些特殊的括号:

输入显示输入显示
\langle$\langle$\rangle$\rangle$
\lceil$\lceil$\rceil$\rceil$
\lfloor$\lfloor$\rfloor$\rfloor$
\lbrace$\lbrace$\rbrace$\rbrace$
\lvert$\lvert$\rvert$\rvert$
\lVert$\lVert$\rVert$\rVert$
$$f(x,y,z) = 3y^2z \left( 3+\frac{7x+5}{1+y^2} \right) $$

$$ f(x,y,z) = 3y^2z \left( 3+\frac{7x+5}{1+y^2} \right) $$

有时候要用 \left.\right. 进行匹配而不显示本身。

$$\left. \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} \right| _{x=0}$$

$$ \left. \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} \right| _{x=0} $$

4.如何输入分数

通常使用 \frac {分子} {分母} 命令产生一个分数,分数可嵌套。 便捷情况可直接输入 \frac ab 来快速生成一个 。 如果分式很复杂,亦可使用 分子 \over 分母 命令,此时分数仅有一层。

$$\frac{a-1}{b-1} \quad and \quad {a+1\over b+1}$$

$$\frac{a-1}{b-1} \quad and \quad {a+1\over b+1}$$

5.如何输入开方

使用 \sqrt [根指数,省略时为2] {被开方数} 命令输入开方。

$$\sqrt{2} \quad and \quad \sqrt[n]{3}$$

$$\sqrt{2} \quad and \quad \sqrt[n]{3}$$

6.如何输入省略号

数学公式中常见的省略号有两种,\ldots 表示与文本底线对齐的省略号,\cdots 表示与文本中线对齐的省略号。

$$f(x_1,x_2,\ldots ,x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2$$

$$f(x_1,x_2,\ldots ,x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2$$

7.如何输入矢量

使用 \vec{矢量} 来自动产生一个矢量。也可以使用 \overrightarrow 等命令自定义字母上方的符号。

$$ \vec{a} \cdot \vec{b}=0 $$

$$ \vec{a} \cdot \vec{b}=0 $$

$$ \overleftarrow{xy} \quad and \quad \overleftrightarrow{xy} \quad and \quad \overrightarrow{xy} $$

$$ xy \text{ with arrows:} \quad \overleftarrow{xy} \\; \mid \\; \overleftrightarrow{xy} \\; \mid \\; \overrightarrow{xy} $$

$$\overleftarrow{xy} \quad and \quad \overleftrightarrow{xy} \quad and \quad \overrightarrow{xy}$$

$$ xy \text{ with arrows:} \quad \overleftarrow{xy} \; \mid \; \overleftrightarrow{xy} \; \mid \; \overrightarrow{xy} $$

8.如何输入积分

使用 \int_积分下限^积分上限 {被积表达式} 来输入一个积分。

$$\int_0^1 {x^2} \,{\rm d}x$$

$$\int_0^1 {x^2} ,{\rm d}x$$

本例中 \,{\rm d} 部分可省略,但建议加入,能使式子更美观。

9.如何输入极限运算

使用 \lim_{变量 \to 表达式} 表达式 来输入一个极限。如有需求,可以更改 \to 符号至任意符号。

$$ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n(n+1)} \quad and \quad \lim_{x\leftarrow{示例}} \frac{1}{n(n+1)} $$

$$ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n(n+1)} \quad and \quad \lim_{x\leftarrow{示例}} \frac{1}{n(n+1)} $$

10.如何输入累加、累乘运算

使用 \sum_{下标表达式}^{上标表达式} {累加表达式} 来输入一个累加。 与之类似,使用 \prod \bigcup \bigcap 来分别输入累乘、并集和交集。 此类符号在行内显示时上下标表达式将会移至右上角和右下角。

$$  sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \prod_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \bigcup_{i=1}^{2} R $$

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \prod_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \bigcup_{i=1}^{2} R$$

11.如何输入希腊字母

输入 \小写希腊字母英文全称\首字母大写希腊字母英文全称 来分别输入小写和大写希腊字母。 对于大写希腊字母与现有字母相同的,直接输入大写字母即可。

输入显示输入显示输入显示输入显示
\alpha$\alpha$A$A$\beta$\beta$B$B$
\gamma$\gamma$\Gamma$\Gamma$\delta$\delta$\Delta$\Delta$
\epsilon$\epsilon$E$E$\zeta$\zeta$Z$Z$
\eta$\eta$H$H$\theta$\theta$\Theta$\Theta$
\iota$\iota$I$I$\kappa$\kappa$K$K$
\lambda$\lambda$\Lambda$\Lambda$\mu$\mu$M$M$
\nu$\nu$N$N$\xi$\xi$\Xi$\Xi$
o$o$O$O$\pi$\pi$\Pi$\Pi$
\rho$\rho$P$P$\sigma$\sigma$\Sigma$\Sigma$
\tau$\tau$T$T$\upsilon$\upsilon$\Upsilon$\Upsilon$
\phi$\phi$\Phi$\Phi$\chi$\chi$X$X$
\psi$\psi$\Psi$\Psi$\omega$\omega$\Omega$\Omega$
小写大写变量形式显示
\epsilonE\varepsilon$\epsilon$ | $E$ | $\varepsilon$
\theta\Theta\vartheta$\theta$ | $\Theta$ | $\vartheta$
\rhoP\varrho$\rho$ | $P$ | $\varrho$
\sigma\Sigma\varsigma$\sigma$ | $\Sigma$ | $\varsigma$
\phi\Phi\varphi$\phi$ | $\Phi$ | $\varphi$

12.如何输入其它特殊字符

若需要显示更大或更小的字符,在符号前插入 \large\small 命令。

若找不到需要的符号,使用 Detexify 来画出想要的符号。

输入显示输入显示输入显示输入显示
\pm$\pm$\times$\times$\div$\div$\mid$\mid$
\nmid$\nmid$\cdot$\cdot$\circ$\circ$\ast$\ast$
\bigodot$\bigodot$\bigotimes$\bigotimes$\bigoplus$\bigoplus$\leq$\leq$
\geq$\geq$\neq$\neq$\approx$\approx$\equiv$\equiv$
\sum$\sum$\prod$\prod$\coprod$\coprod$\backslash$\backslash$
输入显示输入显示输入显示
\emptyset$\emptyset$\in$\in$\notin$\notin$
\subset$\subset$\supset$\supset$\subseteq$\subseteq$
\supseteq$\supseteq$\bigcap$\bigcap$\bigcup$\bigcup$
\bigvee$\bigvee$\bigwedge$\bigwedge$\biguplus$\biguplus$
输入显示输入显示输入显示
\log$\log$\lg$\lg$\ln$\ln$
输入显示输入显示输入显示
30^\circ$30^\circ$\bot$\bot$\angle A$\angle A$
\sin$\sin$\cos$\cos$\tan$\tan$
\csc$\csc$\sec$\sec$\cot$\cot$
输入显示输入显示输入显示
\int$\int$\iint$\iint$\iiint$\iiint$
\partial$\partial$\oint$\oint$\prime$\prime$
\lim$\lim$\infty$\infty$\nabla$\nabla$
输入显示输入显示
\because$\because$\therefore$\therefore$
\forall$\forall$\exists$\exists$
\not\subset$\not\subset$\not<$\not<$
\not>$\not>$\not=$\not=$
输入显示输入显示
\hat{xy}$\hat{xy}$\widehat{xyz}$\widehat{xyz}$
\tilde{xy}$\tilde{xy}$\widetilde{xyz}$\widetilde{xyz}$
\check{x}$\check{x}$\breve{y}$\breve{y}$
\grave{x}$\grave{x}$\acute{y}$\acute{y}$
输入显示
\fbox{a+b+c+d}$\fbox{a+b+c+d}$
\overleftarrow{a+b+c+d}$\overleftarrow{a+b+c+d}$
\overrightarrow{a+b+c+d}$\overrightarrow{a+b+c+d}$
\overleftrightarrow{a+b+c+d}$\overleftrightarrow{a+b+c+d}$
\underleftarrow{a+b+c+d}$\underleftarrow{a+b+c+d}$
\underrightarrow{a+b+c+d}$\underrightarrow{a+b+c+d}$
\underleftrightarrow{a+b+c+d}$\underleftrightarrow{a+b+c+d}$
\overline{a+b+c+d}$\overline{a+b+c+d}$
\underline{a+b+c+d}$\underline{a+b+c+d}$
\overbrace{a+b+c+d}^{Sample}$\overbrace{a+b+c+d}^{Sample}$
\underbrace{a+b+c+d}_{Sample}$\underbrace{a+b+c+d}_{Sample}$
\overbrace{a+\underbrace{b+c}_{1.0}+d}^{2.0}$\overbrace{a+\underbrace{b+c}_{1.0}+d}^{2.0}$
\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{b\text{ times}}$\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{b\text{ times}}$
输入显示输入显示
\uparrow$\uparrow$\Uparrow$\Uparrow$
\downarrow$\downarrow$\Downarrow$\Downarrow$
\leftarrow$\leftarrow$\Leftarrow$\Leftarrow$
\rightarrow or \to$\to$\Rightarrow$\Rightarrow$
\leftrightarrow$\leftrightarrow$\Leftrightarrow$\Leftrightarrow$
\longleftarrow$\longleftarrow$\Longleftarrow or \impliedby$\Longleftarrow$
\longrightarrow$\longrightarrow$\Longrightarrow or \implies$\Longrightarrow$
\longleftrightarrow$\longleftrightarrow$\Longleftrightarrow or \iff$\iff$
\mapsto$\mapsto$\underrightarrow{1℃/min}$\underrightarrow{1℃/min}$

13.如何进行字体转换

若要对公式的某一部分字符进行字体转换,可以用 {\字体 {需转换的部分字符}} 命令,其中 \字体 部分可以参照下表选择合适的字体。一般情况下,公式默认为意大利体 。

示例中 全部大写 的字体仅大写可用。

输入说明显示输入说明显示
\rm罗马体$\rm{Sample}$\cal花体$\cal{SAMPLE}$
\it意大利体$\it{Sample}$\Bbb黑板粗体$\Bbb{SAMPLE}$
\bf粗体$\rm{Sample}$\mathit数字斜体$\mathit{SAMPLE}$
\sf等线体$\sf{Sample}$\mathscr手写体$\mathscr{SAMPLE}$
\tt打字机体$\tt{Sample}$
\frak旧德式体$\frak{Sample}$

转换字体十分常用,例如在积分中:

$$
\begin{array}{c | c}
\mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\\\
\hline \\\\
\int_0^1 x^2 dx & \int_0^1 x^2 \\,{\rm d}x
\end{array}
$$

$$ \begin{array}{c | c} \mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\ \hline \\ \int_0^1 x^2 dx & \int_0^1 x^2 \,{\rm d}x \end{array} $$

注意比较两个式子间 dx 的不同。 使用 \operatorname 命令也可以达到相同的效果,详见 定义新的符号 \operatorname

14.大括号和行标的使用

使用 \left\right 来创建自动匹配高度的 (圆括号),[方括号] 和 {花括号} 。 在每个公式末尾前使用 \tag{行标} 来实现行标。

$$
f\left(
   \left[ 
     \frac{
       1+\left\\{x,y\right\\}
     }{
       \left(
          \frac xy + \frac yx
       \right)
       (u+1)
     }+a
   \right]^{3/2}
\right)
\tag {行标}
$$

$$ f\left( \left[ \frac{ 1+\left\{x,y\right\} }{ \left( \frac xy + \frac yx \right) (u+1) }+a \right]^{3/2} \right) \tag {行标} $$

如果你需要在不同的行显示对应括号,可以在每一行对应处使用 \left.\right. 来放一个“影子“括号:

$$
\begin{aligned}
a=&\left(1+2+3+  \cdots \right. \\\\
& \cdots+ \left. \infty-2+\infty-1+\infty\right)
\end{aligned}
$$

$$ \begin{aligned} a=&\left(1+2+3+ \cdots \right. \\ & \cdots+ \left. \infty-2+\infty-1+\infty\right) \end{aligned} $$

15.其它命令

查询 关于此命令的定义关于此命令的讨论 来进一步了解此命令。

$$ \operatorname{Symbol} A $$

$$ \operatorname{Symbol} A $$

\text {文字} 中仍可以使用 $公式$ 插入其它公式。

$$ f(n)= \begin{cases} n/2, & \text {if $n$ is even} \\\\ 3n+1, & \text{if $n$ is odd} \end{cases} $$

$$ f(n)= \begin{cases} n/2, & \text {if $n$ is even} \\ 3n+1, & \text{if $n$ is odd} \end{cases} $$

有四种宽度的空格可以使用: \,\;\quad\qquad

$$ a \, b \mid a \; b \mid a \quad b \mid a \qquad b $$

$$ a , b \mid a ; b \mid a \quad b \mid a \qquad b $$

当然,使用 \text {n个空格} 也可以达到同样效果

使用 \color{颜色}{文字} 来更改特定的文字颜色。 更改文字颜色 需要浏览器支持 ,如果浏览器不知道你所需的颜色,那么文字将被渲染为黑色。

对于较旧的浏览器(HTML4与CSS2),支持的颜色较少; 对于较新的浏览器(HTML5与CSS3),额外的124种颜色将被支持 输入 \color {#rgb} {text} 来自定义更多的颜色,其中 #rgbr g b 可输入 0-9a-f 来表示红色、绿色和蓝色的纯度(饱和度)。

$$
\begin{array}{|rrrrrrrr|}
\hline
\verb+#000+ & \color{#000}{text} & \verb+#005+ & \color{#005}{text} & \verb+#00A+ & \color{#00A}{text} & \verb+#00F+ & \color{#00F}{text}  \\\\
\verb+#500+ & \color{#500}{text} & \verb+#505+ & \color{#505}{text} & \verb+#50A+ & \color{#50A}{text} & \verb+#50F+ & \color{#50F}{text}  \\\\
\verb+#A00+ & \color{#A00}{text} & \verb+#A05+ & \color{#A05}{text} & \verb+#A0A+ & \color{#A0A}{text} & \verb+#A0F+ & \color{#A0F}{text}  \\\\
\verb+#F00+ & \color{#F00}{text} & \verb+#F05+ & \color{#F05}{text} & \verb+#F0A+ & \color{#F0A}{text} & \verb+#F0F+ & \color{#F0F}{text}  \\\\
\hline
\verb+#080+ & \color{#080}{text} & \verb+#085+ & \color{#085}{text} & \verb+#08A+ & \color{#08A}{text} & \verb+#08F+ & \color{#08F}{text}  \\\\
\verb+#580+ & \color{#580}{text} & \verb+#585+ & \color{#585}{text} & \verb+#58A+ & \color{#58A}{text} & \verb+#58F+ & \color{#58F}{text}  \\\\
\verb+#A80+ & \color{#A80}{text} & \verb+#A85+ & \color{#A85}{text} & \verb+#A8A+ & \color{#A8A}{text} & \verb+#A8F+ & \color{#A8F}{text}  \\\\
\verb+#F80+ & \color{#F80}{text} & \verb+#F85+ & \color{#F85}{text} & \verb+#F8A+ & \color{#F8A}{text} & \verb+#F8F+ & \color{#F8F}{text}  \\\\
\hline
\verb+#0F0+ & \color{#0F0}{text} & \verb+#0F5+ & \color{#0F5}{text} & \verb+#0FA+ & \color{#0FA}{text} & \verb+#0FF+ & \color{#0FF}{text}  \\\\
\verb+#5F0+ & \color{#5F0}{text} & \verb+#5F5+ & \color{#5F5}{text} & \verb+#5FA+ & \color{#5FA}{text} & \verb+#5FF+ & \color{#5FF}{text}  \\\\
\verb+#AF0+ & \color{#AF0}{text} & \verb+#AF5+ & \color{#AF5}{text} & \verb+#AFA+ & \color{#AFA}{text} & \verb+#AFF+ & \color{#AFF}{text}  \\\\
\verb+#FF0+ & \color{#FF0}{text} & \verb+#FF5+ & \color{#FF5}{text} & \verb+#FFA+ & \color{#FFA}{text} & \verb+#FFF+ & \color{#FFF}{text}  \\\\
\hline
\end{array}
$$

$$ \begin{array}{|rrrrrrrr|} \hline \verb+#000+ & \color{#000}{text} & \verb+#005+ & \color{#005}{text} & \verb+#00A+ & \color{#00A}{text} & \verb+#00F+ & \color{#00F}{text} \\ \verb+#500+ & \color{#500}{text} & \verb+#505+ & \color{#505}{text} & \verb+#50A+ & \color{#50A}{text} & \verb+#50F+ & \color{#50F}{text} \\ \verb+#A00+ & \color{#A00}{text} & \verb+#A05+ & \color{#A05}{text} & \verb+#A0A+ & \color{#A0A}{text} & \verb+#A0F+ & \color{#A0F}{text} \\ \verb+#F00+ & \color{#F00}{text} & \verb+#F05+ & \color{#F05}{text} & \verb+#F0A+ & \color{#F0A}{text} & \verb+#F0F+ & \color{#F0F}{text} \\ \hline \verb+#080+ & \color{#080}{text} & \verb+#085+ & \color{#085}{text} & \verb+#08A+ & \color{#08A}{text} & \verb+#08F+ & \color{#08F}{text} \\ \verb+#580+ & \color{#580}{text} & \verb+#585+ & \color{#585}{text} & \verb+#58A+ & \color{#58A}{text} & \verb+#58F+ & \color{#58F}{text} \\ \verb+#A80+ & \color{#A80}{text} & \verb+#A85+ & \color{#A85}{text} & \verb+#A8A+ & \color{#A8A}{text} & \verb+#A8F+ & \color{#A8F}{text} \\ \verb+#F80+ & \color{#F80}{text} & \verb+#F85+ & \color{#F85}{text} & \verb+#F8A+ & \color{#F8A}{text} & \verb+#F8F+ & \color{#F8F}{text} \\ \hline \verb+#0F0+ & \color{#0F0}{text} & \verb+#0F5+ & \color{#0F5}{text} & \verb+#0FA+ & \color{#0FA}{text} & \verb+#0FF+ & \color{#0FF}{text} \\ \verb+#5F0+ & \color{#5F0}{text} & \verb+#5F5+ & \color{#5F5}{text} & \verb+#5FA+ & \color{#5FA}{text} & \verb+#5FF+ & \color{#5FF}{text} \\ \verb+#AF0+ & \color{#AF0}{text} & \verb+#AF5+ & \color{#AF5}{text} & \verb+#AFA+ & \color{#AFA}{text} & \verb+#AFF+ & \color{#AFF}{text} \\ \verb+#FF0+ & \color{#FF0}{text} & \verb+#FF5+ & \color{#FF5}{text} & \verb+#FFA+ & \color{#FFA}{text} & \verb+#FFF+ & \color{#FFF}{text} \\ \hline \end{array} $$

使用删除线功能必须声明 $$ 符号。

(注意: katex 不需要\require{cancel})

在公式内使用 \require{cancel} 来允许 片段删除线 的显示。 声明片段删除线后,使用 \cancel{字符}\bcancel{字符}\xcancel{字符}\cancelto{字符} 来实现各种片段删除线效果。

$$
\begin{array}{rl}
\verb|y+\cancel{x}| & y+\cancel{x}\\\\
\verb|\cancel{y+x}| & \cancel{y+x}\\\\
\verb|y+\bcancel{x}| & y+\bcancel{x}\\\\
\verb|y+\xcancel{x}| & y+\xcancel{x}\\\\
\verb|y+\cancelto{0}{x}| & y+\cancelto{0}{x}\\\\ (katex 不支持)
\verb+\frac{1\cancel9}{\cancel95} = \frac15+& \frac{1\cancel9}{\cancel95} = \frac15 \\
\end{array}
$$

$$ \begin{array}{rl} \verb|y+\cancel{x}| & y+\cancel{x}\\ \verb|\cancel{y+x}| & \cancel{y+x}\\ \verb|y+\bcancel{x}| & y+\bcancel{x}\\ \verb|y+\xcancel{x}| & y+\xcancel{x}\\ \verb+\frac{1\cancel9}{\cancel95} = \frac15+ & \frac{1\cancel9}{\cancel95} = \frac15 \\ \end{array} $$

二、矩阵使用参考

1.如何输入无框矩阵

在开头使用 begin{matrix},在结尾使用 end{matrix},在中间插入矩阵元素,每个元素之间插入 & ,并在每行结尾处使用 \ 。 使用矩阵时必须声明 $$$ 符号。

$$
    \begin{matrix}
    1 & x & x^2 \\\\
    1 & y & y^2 \\\\
    1 & z & z^2 \\\\
    \end{matrix}
$$

$$ \begin{matrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \\ \end{matrix} $$

2.如何输入带边框的矩阵

在开头将 matrix 替换为 pmatrix bmatrix Bmatrix vmatrix Vmatrix

$ \begin{matrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ \end{matrix} $
$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ \end{pmatrix} $
$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ \end{bmatrix} $
$ \begin{Bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ \end{Bmatrix} $
$ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ \end{vmatrix} $
$ \begin{Vmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ \end{Vmatrix} $

$ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} $ $ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} $ $ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} $ $ \begin{Bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{Bmatrix} $ $ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{vmatrix} $ $ \begin{Vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{Vmatrix} $

3.如何输入带省略符号的矩阵

使用 \cdots , \ddots , \vdots 来输入省略符号。

$$
        \begin{pmatrix}
        1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^n \\\\
        1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^n \\\\
        \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
        1 & a_m & a_m^2 & \cdots & a_m^n \\\\
        \end{pmatrix}
$$

$$ \begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^n \\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_m & a_m^2 & \cdots & a_m^n \\ \end{pmatrix} $$

4.如何输入带分割符号的矩阵

$$
        \left[
            \begin{array}{cc|c}
              1&2&3\\\\
              4&5&6
            \end{array}
        \right]
$$

其中 cc|c 代表在一个三列矩阵中的第二和第三列之间插入分割线。

$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1&2&3\\ 4&5&6 \end{array} \right] $$

5.如何输入行中矩阵

若想在一行内显示矩阵,使用\bigl(\begin{smallmatrix} ... \end{smallmatrix}\bigr)

这是一个行中矩阵的示例 $\bigl( \begin{smallmatrix} a & b \\\\ c & d \end{smallmatrix} \bigr)$

这是一个行中矩阵的示例 $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\bigr)$

三、方程式序列使用参考

1.如何输入一个方程式序列

人们经常想要一列整齐且居中的方程式序列。使用 \begin{align}…\end{align} 来创造一列方程式,其中在每行结尾处使用 \\ 。 使用方程式序列无需声明公式符号 $$$

请注意 {align} 语句是 自动编号 的。

$$
\left\\{ 
    \begin{array}{c}
        a_1x+b_1y+c_1z &=d_1 \\\\ 
        a_2x+b_2y+c_2z &=d_2 \\\\ 
        a_3x+b_3y+c_3z &=d_3 \\\\
    \end{array}
\right. 
$$

$$ \left\{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z &=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z &=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z &=d_3 \\ \end{array} \right. $$

2.在一个方程式序列的每一行中注明原因

{align} 中灵活组合 \text\tag 语句。\tag 语句编号优先级高于自动编号。

$$
\begin{align}
   v + w & = 0  &\text{Given} \tag 1\\\\
   -w & = -w + 0 & \text{additive identity} \tag 2\\\\
   -w + 0 & = -w + (v + w) & \text{equations $(1)$ and $(2)$} \tag 3
\end{align}
$$

$$ \begin{align} v + w & = 0 &\text{Given} \tag 1\\ -w & = -w + 0 & \text{additive identity} \tag 2\\ -w + 0 & = -w + (v + w) & \text{equations $(1)$ and $(2)$} \tag 3 \end{align} $$

本例中第一、第二行的自动编号被 \tag 语句覆盖,第三行的编号为自动编号。

四、条件表达式使用参考

1.如何输入一个条件表达式

使用 begin{cases} 来创造一组条件表达式,在每一行条件中插入 & 来指定需要对齐的内容,并在每一行结尾处使用 \\,以 end{cases} 结束。 条件表达式无需声明 $$$ 符号。

$$
        f(n) =
        \begin{cases}
        n/2,  & \text{if $n$ is even} \\\\
        3n+1, & \text{if $n$ is odd}
        \end{cases}
$$

$$ f(n) = \begin{cases} n/2, & \text{if $n$ is even} \\ 3n+1, & \text{if $n$ is odd} \end{cases} $$

2.如何输入一个左侧对齐的条件表达式

若想让文字在 左侧对齐显示 ,则有如下方式:

$$
        \left.
        \begin{array}{l}
        \text{if $n$ is even:}&n/2\\\\
        \text{if $n$ is odd:}&3n+1
        \end{array}
        \right\\}
        =f(n)
$$

$$ \left. \begin{array}{l} \text{if $n$ is even:}&n/2\\ \text{if $n$ is odd:}&3n+1 \end{array} \right\} =f(n) $$

3.如何使条件表达式适配行高

在一些情况下,条件表达式中某些行的行高为非标准高度,此时使用 \\[2ex] 语句代替该行末尾的 \\ 来让编辑器适配。

$$
f(n) = 
\begin{cases}
\frac{n}{2},  & \text{if $n$ is even} \\\\
3n+1, & \text{if $n$ is odd}
\end{cases}
$$

$$ f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & \text{if $n$ is even} \\ 3n+1, & \text{if $n$ is odd} \end{cases} $$

$$
f(n) = 
\begin{cases}
\frac{n}{2},  & \text{if $n$ is even} \\\\[2ex]
3n+1, & \text{if $n$ is odd}
\end{cases}
$$

$$ f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & \text{if $n$ is even} \\[2ex] 3n+1, & \text{if $n$ is odd} \end{cases} $$

一个 [ex] 指一个 “X-Height”,即x字母高度。可以根据情况指定多个 [ex],如 [3ex][4ex] 等。 其实可以在任何地方使用 \\[2ex] 语句,只要你觉得合适。

五、数组与表格使用参考

1.如何输入一个数组或表格

通常,一个格式化后的表格比单纯的文字或排版后的文字更具有可读性。数组和表格均以 begin{array} 开头,并在其后定义列数及每一列的文本对齐属性,c l r 分别代表居中、左对齐及右对齐。若需要插入垂直分割线,在定义式中插入 | ,若要插入水平分割线,在下一行输入前插入 \hline 。与矩阵相似,每行元素间均须要插入 & ,每行元素以 \\ 结尾,最后以 end{array} 结束数组。 使用单个数组或表格时无需声明 $$$ 符号。

$$
\begin{array}{c|lcr}
n & \text{左对齐} & \text{居中对齐} & \text{右对齐} \\\\
\hline
1 & 0.24 & 1 & 125 \\\\
2 & -1 & 189 & -8 \\\\
3 & -20 & 2000 & 1+10i
\end{array}
$$

$$ \begin{array}{c|lcr} n & \text{左对齐} & \text{居中对齐} & \text{右对齐} \\ \hline 1 & 0.24 & 1 & 125 \\ 2 & -1 & 189 & -8 \\ 3 & -20 & 2000 & 1+10i \end{array} $$

2.如何输入一个嵌套的数组或表格

多个数组/表格可互相嵌套 并组成一组数组/一组表格。 使用嵌套前必须声明 $$ 符号。

$$
% outer vertical array of arrays 外层垂直表格
\begin{array}{c}
    % inner horizontal array of arrays 内层水平表格
    \begin{array}{cc}
        % inner array of minimum values 内层"最小值"数组
        \begin{array}{c|cccc}
        \text{min} & 0 & 1 & 2 & 3\\\\
        \hline
        0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\
        1 & 0 & 1 & 1 & 1\\\\
        2 & 0 & 1 & 2 & 2\\\\
        3 & 0 & 1 & 2 & 3
        \end{array}
    &
        % inner array of maximum values 内层"最大值"数组
        \begin{array}{c|cccc}
        \text{max}&0&1&2&3\\\\
        \hline
        0 & 0 & 1 & 2 & 3\\\\
        1 & 1 & 1 & 2 & 3\\\\
        2 & 2 & 2 & 2 & 3\\\\
        3 & 3 & 3 & 3 & 3
        \end{array}
    \end{array}
    % 内层第一行表格组结束
    \\\\
    % inner array of delta values 内层第二行Delta值数组
        \begin{array}{c|cccc}
        \Delta&0&1&2&3\\\\
        \hline
        0 & 0 & 1 & 2 & 3\\\\
        1 & 1 & 0 & 1 & 2\\\\
        2 & 2 & 1 & 0 & 1\\\\
        3 & 3 & 2 & 1 & 0
        \end{array}
        % 内层第二行表格组结束
\end{array}
$$

$$ % outer vertical array of arrays 外层垂直表格 \begin{array}{c} % inner horizontal array of arrays 内层水平表格 \begin{array}{cc} % inner array of minimum values 内层“最小值“数组 \begin{array}{c|cccc} \text{min} & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 0 & 1 & 2 & 2\\ 3 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} & % inner array of maximum values 内层“最大值“数组 \begin{array}{c|cccc} \text{max}&0&1&2&3\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 1 & 2 & 3\\ 2 & 2 & 2 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \end{array} \end{array} % 内层第一行表格组结束 \\ % inner array of delta values 内层第二行Delta值数组 \begin{array}{c|cccc} \Delta&0&1&2&3\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1 & 0 & 1\\ 3 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{array} % 内层第二行表格组结束 \end{array} $$

3.如何输入一个方程组

使用 \begin{array}…\end{array}\left\{…\right. 来创建一个方程组。

$$
\left\\{ 
    \begin{array}{c}
    a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\\\
    a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\\\ 
    a_3x+b_3y+c_3z=d_3
    \end{array}
\right. 
$$

$$ \left\{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \\ \end{array} \right. $$

或者使用条件表达式组 \begin{cases}…\end{cases} 来实现相同效果:

$$
\begin{cases}
a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\\\
a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\\\ 
a_3x+b_3y+c_3z=d_3
\end{cases}
$$

$$ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{cases} $$

六、连分数使用参考

1.如何输入一个连分式

就像输入分式时使用 \frac 一样,使用 \cfrac 来创建一个连分数。

$$
x = a_0 + \cfrac{1^2}{a_1
          + \cfrac{2^2}{a_2
          + \cfrac{3^2}{a_3 + \cfrac{4^4}{a_4 + \cdots}}}}
$$

$$ x = a_0 + \cfrac{1^2}{a_1 + \cfrac{2^2}{a_2 + \cfrac{3^2}{a_3 + \cfrac{4^4}{a_4 + \cdots}}}} $$

不要使用普通的 \frac\over 来创建,否则会看起来 很恶心

$$
x = a_0 + \frac{1^2}{a_1
          + \frac{2^2}{a_2
          + \frac{3^2}{a_3 + \frac{4^4}{a_4 + \cdots}}}}
$$

$$ x = a_0 + \frac{1^2}{a_1 + \frac{2^2}{a_2 + \frac{3^2}{a_3 + \frac{4^4}{a_4 + \cdots}}}} $$

当然,你可以使用 \frac 来表达连分数的 紧缩记法

$$
x = a_0 + \frac{1^2}{a_1+}
          \frac{2^2}{a_2+}
          \frac{3^2}{a_3 +} \frac{4^4}{a_4 +} \cdots
$$

$$ x = a_0 + \frac{1^2}{a_1+} \frac{2^2}{a_2+} \frac{3^2}{a_3 +} \frac{4^4}{a_4 +} \cdots $$

连分数通常都太大以至于不易排版,所以建议在连分数前后声明 $$ 符号,或使用像 [a0;a1,a2,a3,…] 一样的紧缩记法。

七、交换图表使用参考

1.如何输入一个交换图表

使用一行 \require{AMScd} 语句来允许交换图表的显示。 声明交换图表后,语法与矩阵相似,在开头使用 begin{CD},在结尾使用 end{CD},在中间插入图表元素,每个元素之间插入 & ,并在每行结尾处使用\\

$$
\begin{CD}
    A  @>a>>  B \\\\
    @VbVV   @VVcV \\\\
    C  @>>d>  D
\end{CD}
$$

$$ \begin{CD} A @>a>> B \\ @VbVV @VVcV \\ C @>>d> D \end{CD} $$

其中,@>>> 代表右箭头、@<<< 代表左箭头、@VVV 代表下箭头、@AAA 代表上箭头、@= 代表水平双实线、@| 代表竖直双实线、@.代表没有箭头。 在 @>>>>>> 之间任意插入文字即代表该箭头的注释文字。

$$
\begin{CD}
    A @>>> B @>{\text{very long label}}>> C \\\\
    @. @AAA @| \\\\
    D @= E @<<< F
\end{CD}
$$

$$ \begin{CD} A @>>> B @>{\text{very long label}}>> C \\ @. @AAA @| \\ D @= E @<<< F \end{CD} $$

在本例中, “very long label“自动延长了它所在箭头以及对应箭头的长度。

八、一些特殊的注意事项

有些小窍门会让数学公式显得更好看,强迫症和完美主义者会喜欢下面的内容。

1. 某些分数的显示问题

在以e为底的指数函数、极限和积分中尽量不要使用 \frac 符号:它会使整段函数看起来很怪,而且可能产生歧义。也正是因此它在专业数学排版中几乎从不出现。 横着写这些分式,中间使用斜线间隔 / (用斜线代替分数线)。

$$
\begin{array}{c|c}
\mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\\\
\hline \\\\
e^{i\frac{\pi}2} \quad e^{\frac{i\pi}2}& e^{i\pi/2} \\\\
\int_{-\frac\pi2}^\frac\pi2 \sin x\,dx & \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin x\,dx \\\\
\end{array}
$$

$$ \begin{array}{c|c} \mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\ \hline \\ e^{i\frac{\pi}2} \quad e^{\frac{i\pi}2}& e^{i\pi/2} \\ \int_{-\frac\pi2}^\frac\pi2 \sin x,dx & \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin x,dx \\ \end{array} $$

2. 留出合理的间隔

| 符号在被当作分隔符时会产生过于狭窄的间隔,因此在需要分隔时最好使用 \mid 来代替它。

$$
\begin{array}{c|c}
\mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\\\
\hline \\\\
\{x|x^2\in\Bbb Z\} & \{x\mid x^2\in\Bbb Z\} \\\\
\end{array}
$$

$$ \begin{array}{c|c} \mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\ \hline \\ {x|x^2\in\Bbb Z} & {x\mid x^2\in\Bbb Z} \\ \end{array} $$

3. 多重积分符号的显示

使用多重积分符号时,不要多次使用 \int 来声明,直接使用 \iint 来表示 二重积分 ,使用 \iiint 来表示 三重积分 等。对于无限次积分,可以用 \int \cdots \int 表示。

$$
\begin{array}{c|c}
\mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\\\
\hline \\\\
\int\int_S f(x)\,dy\,dx & \iint_S f(x)\,dy\,dx \\\\
\int\int\int_V f(x)\,dz\,dy\,dx & \iiint_V f(x)\,dz\,dy\,dx
\end{array}
$$

$$ \begin{array}{c|c} \mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\ \hline \\ \int\int_S f(x),dy,dx & \iint_S f(x),dy,dx \\ \int\int\int_V f(x),dz,dy,dx & \iiint_V f(x),dz,dy,dx \end{array} $$

4. 多个微分符号的显示

在微分符号前加入 \, 来插入一个小的间隔空隙;没有 \, 符号的话, 将会把不同的微分符号堆在一起。

$$
\begin{array}{c|c}
\mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\\\
\hline \\\\
\iiint_V f(x){\rm d}z {\rm d}y {\rm d}x & \iiint_V f(x)\,{\rm d}z\,{\rm d}y\,{\rm d}x
\end{array}
$$

$$ \begin{array}{c|c} \mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\ \hline \\ \iiint_V f(x){\rm d}z {\rm d}y {\rm d}x & \iiint_V f(x),{\rm d}z,{\rm d}y,{\rm d}x \end{array} $$

感谢您花费时间阅读这份指导手册,本手册内容可能有疏漏之处,欢迎更改指正。


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